Ecuación de Larmor

Qué es la ecuación de Larmor

Cuando un núcleo atómico con espín distinto de cero (el caso más pertinente para la medicina es el del protón del núcleo de hidrógeno, muy abundante en los tejidos por su contenido en agua y grasa) se introduce en un campo magnético externo, su momento magnético no se alinea de forma estática con el campo. Adopta un movimiento giratorio alrededor del eje del campo, análogo al de una peonza que gira en el suelo bajo la fuerza de la gravedad. Ese movimiento se llama precesión, y su velocidad angular la fija la ecuación de Larmor.

La expresión ω₀ = γ · B₀ tiene dos versiones equivalentes según se hable de frecuencia angular o de frecuencia lineal. La forma angular, en radianes por segundo, es la que responde directamente a la derivación mecánica del fenómeno. La forma lineal, en hertzios o megahertzios, se obtiene dividiendo por 2π y suele expresarse como f₀ = (γ / 2π) · B₀. En la literatura clínica de resonancia magnética se emplea con frecuencia el valor de γ/2π; para el protón, es 42,58 MHz/T. Ese número, aparentemente banal, es el que determina las frecuencias de trabajo de todos los equipos clínicos.

La ecuación toma su nombre de Joseph Larmor (1857-1942), físico y matemático irlandés que en 1897, en su artículo On the theory of the magnetic influence on spectra, dedujo la fórmula al estudiar el efecto de un campo magnético sobre las líneas espectrales de la luz emitida por átomos, lo que hoy se conoce como precesión de Larmor.

Los tres elementos de la fórmula

Frecuencia de precesión (ω₀ o f₀). Es la velocidad angular a la que gira el momento magnético del núcleo alrededor del eje del campo. Coincide con la frecuencia a la que ese núcleo absorbe energía de una onda electromagnética externa; por eso es también la frecuencia de resonancia.

Relación giromagnética (γ). Es una constante propia de cada núcleo, que expresa el cociente entre su momento magnético y su momento angular de espín. El protón tiene γ/2π = 42,58 MHz/T, un valor relativamente alto que lo convierte en un candidato eficiente para la imagen médica. Otros núcleos empleados en investigación (¹³C, ³¹P, ²³Na, ¹⁹F) tienen relaciones giromagnéticas distintas, y por tanto sus frecuencias de resonancia son diferentes bajo el mismo campo.

Intensidad del campo magnético (B₀). Se mide en teslas. Los equipos clínicos habituales operan a 1,5 T y 3 T; existen equipos de investigación de 7 T y superiores, y equipos de bajo campo (0,3 a 0,5 T) para aplicaciones específicas.

Aplicación en resonancia magnética

La ecuación de Larmor es el nexo entre el hardware de una máquina de resonancia y la señal que se recoge del paciente. Dentro del imán, los protones del cuerpo precesan a una frecuencia específica dictada por B₀. Para excitarlos, la antena emisora envía un pulso de radiofrecuencia exactamente a esa frecuencia; solo entonces se produce el fenómeno de resonancia, con transferencia de energía al sistema de espines y basculamiento del vector de magnetización. Al terminar el pulso, los protones vuelven a su estado de equilibrio y devuelven la energía absorbida, que se detecta como la señal que dará origen a la imagen.

Las cifras concretas ayudan a hacerse una idea. En un equipo de 1,5 T, la frecuencia de resonancia del protón es 42,58 · 1,5 ≈ 63,87 MHz. En un equipo de 3 T, sube a 127,74 MHz. Cambiar de campo cambia proporcionalmente la frecuencia de todos los pulsos de radiofrecuencia empleados y modifica la relación señal-ruido, el contraste entre tejidos y el comportamiento de los desplazamientos químicos.

La misma fórmula sirve para explicar la codificación espacial de la imagen. Los gradientes de campo magnético que se superponen al campo principal hacen que la frecuencia de precesión de los protones varíe punto por punto en el volumen explorado; midiendo esas frecuencias y sus fases, el ordenador reconstruye la posición de cada señal en el corte anatómico. La secuencia eco de gradiente y la eco planar son ejemplos de secuencias que explotan esta relación entre frecuencia y campo.

Un caso singular en las líneas espectrales

Antes de la resonancia magnética clínica, la ecuación tuvo su primera vida en el campo de la espectroscopia. Larmor la formuló para explicar la aparición de dobletes y tripletes en las líneas espectrales de átomos expuestos a un campo magnético, lo que Pieter Zeeman había observado experimentalmente en 1896. El desdoblamiento de las líneas atómicas y la precesión de los momentos magnéticos son manifestaciones del mismo mecanismo físico, y la fórmula sigue apareciendo hoy en la espectroscopia por resonancia magnética, cuando se estudian las diferencias sutiles de frecuencia asociadas al entorno molecular de un núcleo (desplazamiento químico).

Preguntas frecuentes

¿Quién fue Joseph Larmor?

Físico y matemático irlandés nacido en Magheragall en 1857, formado en Belfast y Cambridge. Fue Lucasian Professor de Matemáticas en Cambridge, la cátedra que también ocuparon Newton, Dirac y Hawking. Publicó en 1897 el trabajo teórico en el que dedujo la fórmula que lleva su nombre, en un contexto en el que la mecánica cuántica todavía no existía como marco general.

¿Qué es la relación giromagnética?

Es una constante propia de cada núcleo atómico con espín distinto de cero. Expresa el cociente entre su momento magnético y su momento angular de espín. Cuanto mayor sea, más alta será la frecuencia de precesión bajo un campo magnético dado. Para el protón vale aproximadamente 267,5 · 10⁶ rad/s/T, o 42,58 MHz/T si se expresa como frecuencia lineal.

¿Por qué cambia la frecuencia entre un equipo de 1,5 T y uno de 3 T?

Porque la ecuación de Larmor establece una relación de proporcionalidad directa entre la frecuencia y el campo. Al duplicar B₀, se duplica la frecuencia de precesión, la frecuencia de los pulsos de radiofrecuencia, la frecuencia de la señal recibida y también la cantidad de energía transferida por unidad de tiempo, con consecuencias sobre la calidad de imagen y sobre la seguridad térmica del paciente.

¿Solo se aplica al hidrógeno?

No. La ecuación es general para cualquier núcleo con espín distinto de cero. En resonancia magnética clínica se explota el protón del hidrógeno porque es el más abundante en el organismo, pero la misma fórmula gobierna la precesión del ¹³C, del ³¹P, del ²³Na, del ¹⁹F y de otros núcleos utilizados en resonancia y espectroscopia experimentales.

Referencias

1. Radiological Society of North America. Resonancia magnética (RM): principios básicos.
2. National Institute of Biomedical Imaging and Bioengineering (NIH). Imagen por resonancia magnética (IRM).
3. Encyclopædia Britannica. Joseph Larmor, Irish physicist.
4. Real Academia Española. Precesión: definición del Diccionario de la lengua española.